方程是一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。由于实践的需要数学方程在古代便已产生了，古代各地区的文明都曾努力探讨过方程的求解问题。

我国的天元术列方程法

　　最简单的一次方程的求解在巴比伦数学、古埃及数学、古印度和中国古代数学中都有解决方法。所有这些古代数学中也都探讨了二次方程的求解问题，中国和古希腊、阿拉伯的数学家也基本上解决了这个问题。三次方程的问题在一些古代数学中已经提出来了，但未能给出一般性解决，三次方程的一般解法在文艺复兴的后期才得到解决。

　　移项解决一元一次方程

丢番图和他的著作《算术》

　　一元一次方程是从算术思维到代数思维过渡时最早遇到的方程，现在看解一次方程很简单，只要会移项就可以了，而移项就是古希腊数学家丢番图发明的。丢番图的著作《算术》中给出了一元一次方程的解法：“如果方程两边遇到的未知数的幂相同，但是系数不同，那么应该由等量减去等量，直到得出含未知数的一项等于某个数为止。”这就相当于现在解方程中的移项。

　　丢番图更著名的成就是创立了代数的符号体系。在丢番图之前，人们都是用文字表示数学。《算术》中引入许多缩写符号，如未知量、未知量的各次幂等都用特殊符号来表示。虽然丢番图的符号体系现在看起来也如天书一般，不过这在代数发展史上是一巨大进步。

　　古希腊数学在相当长的一个时期里认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中，直到丢番图把代数解放出来。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而他在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。

　　为了纪念丢番图，现在对于具有整系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就称为丢番图方程。丢番图本人也被尊崇为代数之父。

　　还原对消与韦达定理

　　早在公元前2000年左右，古巴比伦人就找到了二次方程的个别解法，随后在公元前480年左右，中国人用配方法解决了二次方程。《九章算术》中出现了完全二次方程类型的实际题，但解方程的方法原书只就只有“开方除之”一句话，没有其他解释。古印度文明中也二次方程的解法记录，不过都不是一般解法，同样也没有得到解完全二次方程的普遍公式。

　　最终的解决办法是9世纪初由阿拉伯数学家阿尔-花拉子米（也译作花刺子模）找到的。花拉子米把所有类型的二次方程，归纳成统一的形式：ax²十bx十c=0，并且给出了出一般二次方程的求根公式。

　　花刺子米有两部数学著作传世。第一部《花拉子米算术》介绍了十进位值制记数法和以此为基础的算术知识。现代数学中算法(algorithm)一词就来源于这部著作的书名，即花拉子米的人名。

　　另一部《还原与对消计算概要》传至欧洲后被直接译成《代数学》，代数学（algebra）一词就是从这本书中来的。《代数学》中给出了解方程的简单可行的基本方法。主要方法有二：一是还原，即将负项移至方程另一端后变成正项；二是对消，即将方程两端相同的项消去或合并同类项，再加上算术运算即可求得结果。书中除了阐述解一次和二次方程的基本方法及二次方根的计算公式，还明确提出了代数、已知数、未知数、根、移项、集项、无理数等一系列概念。现在把方程的解叫做方程的根就源自于花刺子米。

韦达

　　16世纪50年代，法国数学家韦达改进了丢番图的符号系统，用辅音字母BCD等代表已知量，用不常用的XYZ代表未知量，现在数学公式的写法就来自于韦达。由于代数符号的缺失，在韦达之前，西方人无法简单地表达一个方程，这也是16世纪以前解方程离不开假设法的原因。韦达用符号语言表达出了数学思想，使代数学进入了符号代数阶段。

韦达定理

　　韦达的贡献不止于此，他最著名的成就当然是提出了二次方程根和系数的关系，即韦达定理。他基于等式性质证明了命题：方程经过移项后保持不变、方程两边同除以一个不等于零的常数后保持不变。

　　三次方程解法的论战

　　二次方程已经解决了，人们又把目光投向了三次方程，当时人们把三次方程的问题分成了两类，分别是：

　　ax（3次方）+bx=n

　　ax（3次方）+bx（２次方）=n

最先是意大利的费罗大约在1515年用代数方法求解得出了第一类三次方程的求解方法，并传给了他的学生费奥尔。另一位意大利数学家塔尔塔里亚在1535年左右独立得到第二类三次方程的求解方法。费奥尔知道后就向塔尔塔里亚提出挑战，要求就此进行公开辩论。费奥尔向塔尔塔里亚提出30个缺二次项的三次方程的问题，塔尔塔里亚在一年之内破解了这类方程的解法。同时，塔尔塔里亚也向费奥尔提出30个问题，其中有些问题是缺一次项的三次方程，费奥尔解不出来，塔尔塔里亚大获全胜。

卡尔达诺

　　此时，意大利另一名数学家卡尔达诺得知塔尔塔里亚的胜利后向其求教。在得到决不泄密的保证后，塔尔塔里亚把他关于缺二次项的三次方程的解法写成一首诗送给卡尔达诺。卡尔达诺做了深入的研究，首先是用几何方法证明了这一解法，然后找出多种类型的三次方程的解法并给出证明，进而提出三次方程有实数根，但求解时遇到负数开方的问题。之前的数学家都只注意到三次方程的正根，卡尔达诺不仅讨论了负根，而且还第一次明确地提到复根。

　　1545年卡尔达诺在自己的著作《大术》中公布了他所知的几类三次方程的解法及证明，研究了四 项俱全的一般三次方程的求解问题并给出了解法。1550年~1572年，意大利的邦别利在著作中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。

　　三次方程的求解有许多人做了创造性的工作，但以卡尔达诺的研究最为深刻，因此后来三次方程求解公式被称为卡尔达诺公式。

　　高次方程根式解不一定存在

　　四次方程的求解几乎与三次方程同时得出，那是卡尔达诺的学生费拉里的研究成果，就发表在卡尔达诺的《大术》中。受到成功鼓舞的人们自然要向更高次方程进军了，但五次方程求解的工作竟然用了200多年而且是以一个不可能的结果出现的。

　　自四次方程求解公式出现以后，好长时间都没有更高次方程的突破。数学家们已经不想再按部就班地五次方程六次方程这样解下去了，他们要找到一劳永逸的办法来彻底解决高次方程的解法问题。

　　欧拉最早对这个问题做了研究，他的解决思路还是降次，其实方程的解一直是这个思路，二次方程就是降成了一次方程，三次方程降成了二次方程，在欧拉看来，只要降次这个思路行得通，就算n次方程也没关系，反正可以变成n-1次，以此类推，直至降到一次，不过他并没有对此深入研究。

　　拉格朗日接过了欧拉的旗帜，他沿着这条路走了下去，在研究过程中，拉格朗日意识到五次方程根式求解的公式可能不存在，他又试图证明这个结论的正确性，但也以失败告终。

阿贝尔

　　1826年，阿贝尔证明了一般五次方程用根式不能求解，并给出一些能用根式解的特殊方程，后来被称为阿贝尔方程。他试图刻画出能用根式解的方程的特性，终因过早病逝而未能完成。

　　阿贝尔没有给出哪些方程可以根式解、哪些方程不能根式解的判别标准。伽罗瓦在这点上取得了突破，而且得到完整的结果。他提出了群的概念，即每个方程都对应一个有限置换群，方程可根式解的充分必要条件是方程的群是可解群。伽罗瓦在此基础上提出了一整套关于群和域的理论，成为近世抽象代数的创始人。