在一般人的印象中，画家是从事绘画艺术的人群，以感性思维见长，与培养理性思维的数学似乎并不相干。但你若观赏过委内瑞拉画家Rafael Araujor的高能几何绘画（图①和图②），或许就会改变这样的想法。他以圆规和尺子做出数学轨迹，就能创作出如此栩栩如生的作品，令人称奇。由此可见，画家与数学绝非风马牛不相及，在心有灵犀和天赋兴趣的前提下，艺术时常与数学不期而遇产生奇妙的火花。
图①《海螺轻轻吹》
图②《蝴蝶翩翩飞》
画作中的幻方
中世纪德国著名画家阿尔布雷特·丢勒在其功成名就之时，突然宣布转向数学研究，这种跨度似乎很难用心血来潮或别出心裁解释。即便如此，这位酷爱幻方的画家为其1514年的名作《忧郁》（图③）添加了一个特别背景―四阶幻方（图③右上角），足以显示自己业余爱好的非凡水准。
图③《忧郁》
用数学眼光来判断，画家苦心经营的这个四阶幻方看似非常普通。唯一比较特别的是，幻方最后一行中间两个数是15和14，恰好隐含了作品的创作年代，似乎也仅此而已。由于当时的四阶幻方已达880种之多，各有千秋、精彩纷呈，所以人们当初并没有对画中的幻方高看一眼。
然而到了本世纪，当专家重新审视这则幻方时，竟然发现数百年来大家都是“有眼不识泰山”，这则幻方中蕴含的种种被忽略的特性足以让人刮目相看。
第一，
幻方角上4数之和16+13+4+1=34，等于四阶幻方的和常数，这可不是幻方的常规要求，看似无心却是有意；第二，在这个幻方中，角上的4个2×2小正方形和中央1个2×2小正方形的4数之和仍等于幻方常数，即16+3+5+10=9+6+4+15=2+13+11+8=7+12+14+1＝10+11+6+7=34，其中的机巧让人眼前一亮；第三，在这个幻方中，对角线上8个数字之和等于不在对角线上的8个数字之和，即16+10+7+1+13+11+6+4=2+3+5+9+14+15+12+8=68，这显然出乎人们的意料和想象。
这还没完，继续尝试又有新发现：对角线上8个数字的平方和等于不在对角线上的8个数字的平方和。即162+102+72+12+132+112+62+42=22+32+52+92+142+152+122+82=748，这就更为难得了。
推演后，人们还发现：对角线上8个数字的立方和等于不在对角线上的8个数字的立方和，都为9248。如此“不变其宗”的机变实在让人拍案叫绝。
一个画家的数学造诣和精巧构思竟然如此高深，这恐怕是许多人完全没有想到的。
达·芬奇的巧证
列奥纳多·达·芬奇是意大利最著名、最杰出的艺术大师。这位“欧洲文艺复兴时期最完美的代表”，学识渊博、多才多艺，不仅在绘画领域有着高超精湛的艺术造诣，而且在科学领域也展露出非凡卓越的才能，其研究成果和发明创造，曾得到伟大的物理学家爱因斯坦的高度赞赏，被赞誉为“人类历史上绝无仅有的全才”。下面这则巧证“勾股定理”的故事，应该是对他身份中“艺术家里的数学家”的最佳诠释。
据说有一天，达·芬奇来画室检查学生临摹《蒙娜丽莎》的情况，令他惊讶的是，竟然有半数学生没有潜心于作画，而是在探讨“毕达哥拉斯定理”的证明。这个定理也就是大家现在非常熟悉的“勾股定理”：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2。有关这个定理的证明多种多样，一直吸引着爱好者另辟蹊径，尝试探索。
达·芬奇自然知晓“毕达哥拉斯定理”的出处和背景，加上自身对数学也很痴迷，所以他并没有批评弟子们，反而饶有兴致地加入其中，很快便给出一个别出心裁的证明方法：
图④
图⑤
图⑥
先将边长分别为a、b的两个正方形和边长都是a、b、c的两个直角三角形拼合成图④，且画出整个图形的对称轴（图中虚线）；接着，将拼合成的图形整体从画纸中移出，再将取出的图形沿对称轴剪开，然后保留图形的左边，而将右边按照垂直方向翻转一周后重新拼合成图⑤；最后，将图④中一些顶点相连成一个c为边长的正方形和两个边长为a、b的直角三角形（图⑥），就完成了定理的证明。
这种“美术证法”的正确性，可以通过并不复杂的数学分析说明：首先，考虑到图④的对称性，直角A和直角D都被均分，因此翻转后的图⑥中，角A和角D仍是直角，所以可判断BF和CE是直角三角形的斜边c，而BC和EF显而易见也是斜边c；其次，在图④中，∠ABO=900，这个特征保持到图⑤中，即∠ABF+∠FBO=900；因为直角三角形ABF和CBO完全一样，所以∠ABF=∠CBO ，则∠CBO+∠FBO =∠CBF=900，这表明BC⊥BF。由此可知，四边形BCEF是边长为c的正方形。
这样一来，图④中的图形面积S= a2+b2+ 
ab+ 
ab=a2+b2+ab，而剪拼而成的图⑥中的图形面积S= c2+ab，显然有a2+b2+ab= c2+ab，可得a2+b2=c2。
画室里顿时爆发出热烈的掌声，恍然大悟的弟子们都为导师的奇思妙想深深折服。
油画中的难题
图⑦《难题》
俄国著名画家格丹诺夫·别尔斯基在1895年创作过一幅名为《难题》的油画（图⑦）。油画描绘了一位小学教师正在和他的学生们演算黑板上的数学题。这位戴眼镜的教师非同寻常，他是俄国著名数学家、教育家拉金斯基。
那么，画中到底是一道什么题目呢？只要仔细观察画面不难发现，原来只不过是一道分数算式题：
，画中没有给出答案，那么运算结果是多少呢？光是一个劲地计算，可不是最终目的哟，你应该学会从中发现数学的规律。那规律是什么呢？只要你看了下面的等式：102＋112＋122＝132＋142＝365，马上就有了答案2。不过这不是唯一的结论，我们从其中得到某些连续自然数平方和之间的关系的启示才是最有价值的。这也是出题者的真正用意所在。
值得一提的是，这幅与数学有关的油画的背景。画中的主人公是莫斯科大学数学教授、著名的教育家拉金斯基，画中的情景是描绘拉金斯基放弃大都市生活，到农村当一名默默无闻的小学教师。或许人们都会惊讶于拉金斯基的选择，其实只要了解了拉金斯基的生活经历就不难理解。生于农村的拉金斯基自小便对数学产生了浓厚的兴趣，常常为了一些“难题”，算上几天几夜也不疲倦。11岁那年，他碰到一道难题，徒步50多千米到城里求教中学老师，老师只花了一分钟，便解出了答案。所以他很有感触：一些令农村孩子们头疼的“难题”，只要有好的老师指导，其实是很简单的。
为改变这种情况，拉金斯基尽管依靠自己的努力成为俄国著名数学家，他还是毅然辞去大学教授的职位，选择回到农村，来到那些更需要他的孩子们身边。这幅油画也由于数学家拉金斯基的感人事迹而得到了人们的关注。
这幅油画被世界各地的数学爱好者得知后，大家纷纷前去品鉴，其中就有美国著名数学科普大师加德纳。由于职业关系，加德纳对画中的这道数学题产生了浓厚兴趣，他循着这一问题进行了有针对性的研究，一番艰辛之后，终于有所发现。
加德纳发现，那个等式不过是一类具有相同性质的无穷无尽个等式中的第二个例子而已。首例就是我国古代早就发现的勾股数公式：32+42=52。在这个等式中，连续自然数的分布情况是：左二右一，而在第二个等式中的分布情况是：左三右二。此时，加德纳就猜想：如果真的有第三个例子，那连续自然数的分布情况就肯定是左四右三了。果然，下面的等式证实了加德纳的推想：
212+222+232+242=252+262+272。
之后，又经过进一步深入演算，加德纳终于归纳出了这样一个规律：这些等式可以无穷无尽地写下去，样子就像一座美丽的“宝塔”。如果等式右边有x项，那么等式左边就有x＋1项。当然，所有的数都得平方。加德纳说，最关键的是，这一串连续自然数中心的一个，一定为2x（x+1）。这可是从这幅特殊的油画中得到的特殊发现哟。
杰作中的数学公式
图⑧《麦田上的乌鸦》
图⑨《星空》
文森特·威廉·梵高是19世纪伟大的艺术巨匠，也是举世闻名的印象派大师。他的一生历经艰难困苦。梵高在世时，其艺术造诣并未得到充分肯定，他饱受癫痫病和精神错乱的折磨，甚至割掉了自己的一只耳朵，最终在37岁时于绝望中开枪自杀。与此同时，梵高的一生又取得了辉煌的成就，如今，他已成为人们心目中伟大的艺术家，其画作不断被拍出高价，在艺术史上达到了令人难以超越的高度。
更耐人寻味的是：在被视为经典的梵高后期作品之《麦田上的乌鸦》（图⑧）以及《星空》（图⑨）里，科学家用独特的眼光发现了非比寻常的元素，画作中一些旋涡式图案背后竟然暗藏着复杂的数学和物理学公式。
在这幅《麦田上的乌鸦》中，乌云翻卷的天空和狂风撼动下的麦田，急促而苍劲的黑色线条，画出在波浪起伏的麦田上低掠而过的乌鸦。画中的每笔线条都带有强烈的动感，动荡不安的构图、明暗对比强烈的色调、粗野狂放的缭乱笔触，充分显露出梵高内心的孤独、压抑和苦闷。
在《星空》中，画着一些小屋, 丝柏从地面伸向夜空；黄色的星星与闪光的橘黄色月亮形成旋涡, 天空因此变得活跃起来。
在这两幅作品中，几乎所有人都能感受到旋涡的存在和作用，一直以来，人们把这些旋涡看成是梵高的一种独特的艺术表现形式，但现在，来自墨西哥国立自治大学的物理学家乔斯·阿拉贡经过研究发现，梵高画作里出现的那些深浅不一的旋涡，竟然和半个世纪后科学家用来描述湍流现象的数学公式不谋而合。
湍流问题曾被称为“经典物理学最后的疑团”，科学家一直试图用精确的数学模型来描述湍流现象，但至今仍未彻底解决。20世纪40年代，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了“柯尔莫哥洛夫微尺度”公式，借助该公式，物理学家可以预测流体任意两点之间在速率和方向上的关系。在梵高的这两幅画作里，那些深浅不一的旋涡正好精确地反映了这个公式。
需要指出的是，梵高这些画作均为其后期作品，当时的他已经陷入癫痫病带来的内心狂乱状态，时而清醒，时而混乱。阿拉贡相信，正是梵高的幻觉让他得以洞察旋涡的原理。持类似观点的还有哈佛大学神经病学教授史蒂文·沙克特，他认为：“有人会在发病时产生新的、异常的意识，他的感觉和认知都会变得不正常。”换句话说，梵高画作里表现出的物理现象，极有可能与其受癫痫病影响有关。科学家们相信癫痫令梵高产生的幻觉，可能赋予他洞察湍流奥秘的特殊能力，并不自觉地在作品中留下湍流的经典数学模型的影像。
尽管这样的解释并不能完全令人信服，但这种艺术与科学的碰撞，或许与梵高天才的想象和苦行僧般的经历有关，冥冥之中的注定恐怕只可意会，难以言传，因此我们在对科学家的发现表示惊讶的同时，也只能对这位艺术大师的传奇表达敬意。
埃舍尔的错觉图形
莫里茨·科内利斯·埃舍尔是荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中别具一格的艺术家。其作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论以及循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，为绘画艺术增添了难以言说的数学之美，他也被公认为将绘画艺术性与数学科学性融会贯通并发挥到极致的艺术大师。
1956年，埃舍尔举办了生平第一次重要的画展，这个画展得到了《时代》杂志的好评，使他在世界范围获得了极高的名望。许多数学家给予埃舍尔艺术作品充分的肯定，认为埃舍尔艺术作品中的数学原则和思想得到了非同寻常的形象化。
后来，随着埃舍尔创作的发展，创造出许多反映悖论和“不可能”的图形结构的艺术作品，见者莫不惊叹于数学思维融入艺术创造中的奇特魅力。
图⑩《互绘的双手》
比如上面这幅引人注目的作品《互绘的双手》（图⑩），你看到后会情不自禁地研判究竟是哪一只手绘出了另一只手。画面中既像左手画着右手，又像右手画着左手，当然也可以看作左右手互绘，在确定无解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇。而这恰好反应了埃舍尔作品中极为重要的特征—自我复制和完全循环。事实上，在埃舍尔其他代表作品中，这种特征随处可见，已成特色，并由此营造出匪夷所思的视觉效果。
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不仅如此，埃舍尔的许多作品还体现了平面镶嵌的特点。所谓“平面镶嵌”，是指完全没有重叠并且没有空隙的封闭图形的排列。一般情况下，构成镶嵌的封闭图形的基本单元是多边形或类似的常规形状，埃舍尔更痴迷于那些不规则的、形状特别的平面镶嵌。因此，在他的很多艺术作品中，都运用了几何学中的反射、旋转来得到更加多变的图案，并独具匠心地使这些图案通过扭曲、变形成为人、鸟、鱼等，这样美不胜收的效果既自然又令人拍案叫绝。比如《骑士平面镶嵌》（图
）和《黑白鸟的镶嵌》（图
）就充分反映出重叠、翻转的数学美。
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此外，交叉几何体也常常出现在埃舍尔的艺术作品中，比如木版画《星空》（图
）：这是一个由八面体、四面体和立方体交叉构成的几何体，这些正面体都是外凸的，同时还存在内凸的正多面体，数学家已证明出存在26种可能的规则立体，它们之间互相交叉后还可以形成无数规则的立体系列。埃舍尔设计出飘浮着无数规则立体的星空背景，并在奇妙的正多面体中加入了两条变色龙，带给观众奇妙的视觉冲击，巧妙展现出了立体几何的数学美。
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特别值得一提的是，在埃舍尔用数学观点完成的所有重要艺术作品中，最重要的是处理空间性质的作品。比如《瀑布》（图
），从中可以发现这个瀑布本质上就是两个彭罗斯三角的叠加，形成了矛盾的空间，显示了埃舍尔对空间维度的关注以及用二维的方式表现三维空间的矛盾和诡术。
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所谓彭罗斯三角 （图
），看起来像是一个固体，由三个截面为正方形的长方体所构成，三个长方体组合成为一个三角形，但两长方体之间的夹角似乎又是直角。但上述性质无法在任何一个正常三维空间的物体上实现，是所有不可能图形中最基础的一个。
在埃舍尔手中，刚性的维度可以任意扭曲反转，从而展示出在其丰富想象空间中的魔法变换。
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在《莫比乌斯带上的蚂蚁》（图
）中，如果我们跟踪蚂蚁的路径，就会发现蚂蚁并不是在相反的面上爬行，而是爬行在同一个面上。这就是埃舍尔艺术作品中展现出的拓扑学价值和数学美。
早在公元前6世纪，古希腊著名数学家毕达哥拉斯就认为：数与美紧密关联，甚至可以说，数是美的本源，一切艺术都产生于数。这足以说明艺术与数学有着悠远的渊源。由此不难理解，从事艺术创作的画家为何流连于鲜花盛开的数学园林，探寻和呈现数学之美才是主线和主题。（林革）
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